TEOREMA DE PITAGORAS.

Pitágoras de Samos fue un filósofo griego que vivió alrededor del año 530 a.C., residiendo la mayor parte de su vida en la colonia griega de Crotona, en el sur de Italia. De acuerdo con la tradición fue el primero en probar la afirmación (teorema) que hoy lleva su nombre: 

Si un triángulo tiene lados de longitud (a,b,c), con los lados (a,b) formando un ángulo de 90 grados ("ángulo recto"), tenemos que

a2 + b2 = c2

Un ángulo recto se puede definir como el ángulo formado cuando dos líneas rectas se cruzan de tal forma que los cuatro ángulos que forman son iguales. El teorema también se puede definir de otra forma: si las longitudes de los tres lados (a,b,c) de un triángulo satisfacen la relación anterior, el ángulo entre los lados a y b debe ser de 90 grados. 

Por ejemplo, un triángulo con los lados a = 3, b = 4, c = 5 (pulgadas, pies, metros,... lo que sea) es rectángulo porque 

a2 + b2 = 32 + 42

= 9 + 16 = 25 = c2

Los maestros de obras del antiguo Egipto pudieron conocer el triángulo (3,4,5) y usarlo (mediante cañas o cuerdas calibradas) para construir ángulos rectos; aún hoy en día los albañiles usan tableros con clavos con esas longitudes que les ayudan a alinear una esquina.

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

Los lados a y a', b y b', c y c' se llaman lados homólogos.

Son ángulos homólogos:

A Y A', B´Y B', C Y C'

Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos homólogos iguales y sus lados homólogos proporcionales.

A es igual A', B es igual B', C es igual a C'

La razón de la proporción entre los lados de los triángulos se llama razón de semejanza.

La razón de los perímetros de los triángulos semejantes es igual a su razón de semejanza.

La razón de las áreas de los triángulos semejantes es igual al cuadrado de su razón de semejanza.



DEFINICIONES BÁSICAS

·         ÁNGULO: Es la figura formada por 2 semirrectas que parten de un mismo punto. Las semirrectas se llaman lados y el punto común vértice.

TIPOS DE ÁNGULOS:

Ángulo Recto: está formado por el cruce de dos rectas perpendiculares que forman la cuarta parte de una revolución, es decir, 90º

            Ángulo Obtuso: es el que tiene más de 90º, pero menos de 180º.

          Ángulo Agudo: Tiene una abertura menor a la del ángulo recto.

Ángulo Plano: es aquel cuyos lados son semirrectas opuestas, además el ángulo es la mitad de una circunferencia, o sea, 180º.

·         TRIANGULO: Es un polígono de tres lados.

Un triangulo esta determinado por 3 segmentos de rectas que se llaman lados, de tres puntos no alineados que se llaman vértices.

Tipos de triángulos:

Triangulo Isósceles:  tiene 3 lados iguales

                 Triangulo escaleno: tiene dos lados iguales.

                   Triangulo acutángulo: tres lados desiguales.

 

·         MEDIDAS DE ÁNGULOS :

Grados sexagesimal: El grado sexagesimal, como unidad del sistema de medida de ángulos sexagesimal, esta definido partiendo de que un ángulo recto tiene 90° (90 grados sexagesimales), y sus divisores el minuto sexagesimal, y el segundo sexagesimal, están definidos del siguiente modo:

1 ángulo recto = 90° (grados sexagesimales).

1 grado sexagesimal = 60′ (minutos sexagesimales).

1 minuto sexagesimal = 60″ (segundos sexagesimales).

Radian: El radián se define como el ángulo que limita un arco cuya longitud es igual al radio del arco.

grados ,minutos y segundos ( º ‘ ’’ ): Un grado se divide en 60 minutos, y un minuto, en 60

segundos. Se denotan de la forma siguiente: grados (º), minutos (‘), segundos (‘’)

La equivalencia es análoga a la que existe entre horas, minutos y segundos:

1º ↔ 60’ ; 1’ ↔ 60’’

TRIGONOMETRÍA Y SU HISTORIA

QUE ES LA TRIGONOMETRIA

Se entiende por trigonometría a la rama que se encarga de estudiar las relaciones entre los lados y los ángulos de triángulos, propiedades y aplicaciones de las funciones trigonométricas de ángulos. Este se vale de las razones trigonométricas las cuales son utilizadas frecuentemente en cálculos técnicos. En términos generales. La trigonometría es el estudio de las funciones de seno, coseno, tangente, cotangente; el interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todo aquello donde se requiere medidas de precisión.

HISTORIA DE LA TRIGONOMETRIA

El estudio de la trigonometría la inicia oficialmente Hiparco de Nicea 150 años a.C pero su historia se remonta en los egipcios y babilonios, primeros en medir ángulos. Hiparco es considerado el padre de la trigonometría por sus grandes contribuciones tales como determinar la duración del año solar en 365 días y 6 horas, sentar bases en la trigonometría, realizar el primer catalogo de estrellas (800) e inventar el primer astrolabio.Tolomeo prosigio los estudios de Hiparco.ordeno los conocimientos de los griegos sobre astronomía,afirma que la tierra es relativamente redonda.

John Napier invento logaritmos y gracias a estos cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje, a mediados del siglo XVII Isasc Newton, utilizando series infinitas,encontró para el sen X y series similares para el cos X y la tg x. Por ultimo, en el siglo XVIII, el matemático Leonahard Euler encontró la relación entre las propiedades trigonométricas y los números complejos.

RAZONES TRIGONOMETRICAS.

seno,coseno,tangente,cosecante,secante, y cotagente.

Ejemplo de razones trigonométricas en un triangulo rectángulo

Cateto adyacente Es aquel que forma parte del ángulo al cual se hace referencia.

Cateto opuesto Es el lado que no forma parte del ángulo que se toma como referencia y se encuentra enfrente de este.

Hipotenusa Es el lado de mayor longitud de un triángulo rectángulo, y el lado opuesto al ángulo recto.

A continuación se representan las razones trigonométricas seno, conseno y tangente de un ángulo:

Sen a=  cateto opuesto  =  c

                 Hipotenusa          a

Cos a= cateto adyacente = b

                   Hipotenusa         a

Tg a= cateto opuesto__ = c

           Cateto adyacente    b

Las razones inversas del seno, coseno y tangente se llaman cosecante, secante y cotangente:

Cosec a = Hipotenusa___ = a

                 Cateto opuesto     c

Sec a = hipotenusa______ = a

             Cateto adyacente       b

Ctga a= cateto adyacente  = b

               Cateto opuesto        c

TRIGONOMETRÍA Y APLICACIONES EN DIFERENTES ÁREAS.

Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la navegación geodesia y la astronomía.

Aunque no seas físico, químico, biologuita, agrónomo o ingeniero, infinidades de objetos de lo que te rodean modelan matemáticamente  y la trigonometría es una de las ramas de la matemática mas utilizada para el cálculo de algunas variables. Algunas áreas en la cual manejamos o utilizamos trigonometría son:

·         EN FISICA: permite resolver  problemas de mecánica clásica, es útil en el pasaje de coordenadas polares. La física se aplica a la vida cotidiana.

·         JUEGOS: En la construcción de juegos para consolas o computadoras, todo lo que se representa geométricamente en pantalla se hace utilizando mucha trigonometría, para simular procesos naturales o físicos.

 

·         JUEGOS DE MESA: El pool tiene una gran aplicación de trigonometría. En general en el choque de partículas, las direcciones y los ángulos de choque son muy importantes para determinar el movimiento posterior

·         GEOGRAFÍA: El cálculo de distancias en un mapa, donde estamos hablando de paralelos y meridianos que no son ni más ni menos que líneas en una circunferencia nos puede ayudar el cálculo de su longitud.

·         ELECTICIDAD/ELECTRÓNICA: Muchas señales de aparatos eléctricos, tienen usan funciones trigonométricas para ser modeladas, las series de fourier permiten casi definir cualquier señal como suma ponderada de senos y cosenos.

·         CONSTRUCCIÓN: Para el diseño de planos, calculo de resistencia de materiales, tratamos con modelos geométricos, en los cuales las funciones trigonométricas son de gran ayuda.

·         APLICACIONES CAD Y DIBUJO: las Curvas, Elipse, Círculos utilizan en su formulación funciones trigonométricas.

·         ASTRONOMÍA: Muy frecuentemente utilizada, para calcular orbitas de los planetas.

·         TRIGONOMETRÍA EN LA MÚSICA: cualquier onda sonora por el teorema de Fourier se puede expresar como una suma de diferentes ondas armónicas y estas ondas armónicasse suelen expresar matemáticamente con funciones seno o coseno.